Cuadro
resumen de las INDETERMINACIONES.
Tipo
I.
Método:
Ejemplo:
Tipo
II. lim f (x) = ⎛ 0 ⎞ x→a ⎜0⎟
lim
f (x) = ⎛ k ⎞ x→a ⎜0⎟
calcular
los límites laterales. lim 2x = ⎛ 6 ⎞
x→3x−3
⎜0⎟ ⎝⎠
⎝⎠
Caso
1. f(x) es un cociente de polinomios.
Método:
simplificar mediante la descomposición en factores primos.
Ejemplo:
lim x2 −1 = ⎛ 0 ⎞ = 1 2⎜⎟
x→1x+2x−3
⎝0⎠ 2
Observación:
en la descomposición del numerador y el denominador YA SE CONOCE UNA RAÍZ.
Caso
2. Método:
f(x)
contiene sumas y raíces cuadradas.
multiplicar
y dividir por el conjugado de la parte de la fracción que contenga la raíz
cuadrada.
lim
x−1−1=⎛0⎞= 1 x→2 x−2 ⎜0⎟ 2
Ejemplo:
Tipo
III. lim P(x) = ⎛ ∞ ⎞
⎝⎠
x→∞Q(x)
⎜∞⎟ ⎝⎠
Método:
Ejemplo:
Tipo
IV. lim f (x) = (∞ − ∞) x→∞
Caso
1. Las expresiones contienen raíces cuadradas.
Método:
multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de la expresión que
contenga las raíces.
Ejemplo:
lim x2+3−x=(∞−∞) x→∞
Caso
2. Diferencia de fracciones algebraicas.
Método:
efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica.
Ejemplo:lim
2 −2x=(∞−∞) x→1x2−1 x−1
se
divide numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. lim 2x3
+5x−4 =⎛∞⎞
x→∞32
⎜∞⎟
5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠
1
Departamento
de Matemáticas
Tipo.
Límites de los polinomios lim P(x) y lim P(x) x→∞ x→−∞
Método:
considera que a efectos del límite sólo interviene el término de mayor
grado. Estudiemos los límites de los monomios y sus inversos.
•
limaxn =a⋅∞n =a⋅∞=⎧+∞
si a>0 x→∞ ⎨−∞ si a<0
⎩ •
lim1=⎛1⎞=0
x→∞
n ⎜±∞⎟
ax ⎝ ⎠
Esto
permite generalizar el límite en el infinito de cualquier polinomio. Lo
razonaré para el caso de grado 3
lim
(ax3 + bx2 + cx + d)= lim ax3 ⋅⎜ + x→∞ x→∞ ⎜ax3
•
lim 1 =⎛1⎞=0 x→∞P(x) ⎜±∞⎟
+ ⎟ =
ax3 ⎟
⎛ax3
bx2 cx d⎞
+ ⎝⎠
•
limax3⋅⎜1+
+ 2+ 3⎟=lim(ax3)
ax3
ax3
⎛bcd⎞
x→∞
⎝axaxax⎠x→∞
⎝⎠
Conclusión:
en los límites en el infinito de los polinomios el término que marca el
límite es el de MAYOR GRADO.
lim(3x2
−5x+3)= lim(3x2)=+∞ x→∞ x→∞
Nota:
Si estudiáramos lim P(x) tendríamos situaciones parecidas, habría que tener
cuidado con x→−∞
•
lim1=⎛1⎞=0
x→−∞ n ⎜±∞⎟
los
signos
•
lim axn =a⋅(−∞)n =a⋅∞=⎪−∞
si a>0 y nesimpar
⎧⎪+∞
si a>0 y nespar x→−∞ ⎨−∞ si a<0 y nespar
⎪+∞
si a<0 y nesimpar ⎩
ax
⎝ ⎠
Como
ejercicio sencillo observa y comprende la siguiente tabla:
x→∞
x3
+2x2 −5x+7→+∞
x→∞
−2x3
+x2 +5→−∞
x→∞
−3x3
+200x2 +x+1→−∞
x
→ −∞
2x3
−x2 +88x+7→−∞
x
→ −∞
−2x4
+x3 −4x+1→−∞
x
→ −∞
−x3
+x2 −9x+3→+∞
2
Tipo
I. Indeterminación lim f (x) = ⎛ k ⎞ x→a ⎜0⎟
Método:
se estudian los límites laterales.
Caso
1.
Departamento
de Matemáticas
⎝⎠
lim
2x =⎛6⎞
NOTIENE x→3x−3 ⎜0⎟
⎝⎠
lim
2x =⎛ 6
⎞=+∞
x→3+ x−3 ⎜ +⎟
x>3
⎝0 ⎠
lim
2x = 6 =−∞ x→3− x−3 −
x<3
0
Como
los límites son distintos se dice que la función NO TIENE LÍMITE
Caso
2.
lim
x+4 =⎛3⎞=∞
x→−1 2 ⎜0⎟
(x+1)
⎝ ⎠
lim
x+4= 3 =+∞
lim
x+4= 3 =+∞
(x
+1)2 (+0)2
Como
los límites coinciden se dice que el límite es ∞
−
(x +1)2
(−0)2
x>−1
TipoII. limf(x)=⎛0⎞
x<−1
+
x→−1
x→−1
x→a
⎜0⎟ ⎝⎠
Caso
1. f(x) es un cociente de polinomios.
Método:
se descompone en factores primos el numerador y el denominador, se simplifica y
se
“toman
límites”
•
lim x2−1 =⎛0⎞=1
2⎜⎟
x→1x+2x−3 ⎝0⎠ 2
x2
−1=(x+1)⋅(x−1), en este caso se “ve” que se trata de
una diferencia de cuadrados. En otro caso se emplea el procedimiento general.
x2
+2x−3⇒x2
+2x−3=0⇒soluciones⎧x=1 ⇒ ⎨x = −3
x2
+2x−3=(x−1)⋅(x+3)
x2
−1 (x+1)⋅(x−1) x+1 2 1 + 2x − 3 = lim ( ) ( ) = lim =
=
lim
x x→1 2
•
Descompongamos
en factores el numerador y el denominador. 3
⎩
x→1
x−1⋅x+3 x→1x+3 4 2 lim x2 −4 =⎛0⎞
2⎜⎟
x→2x−4x+4 ⎝0⎠

x2
−4=(x+2)⋅(x−2)
x2
−4x+4⇒x2
−4x+4=0, resolviendo⇒⎧x=2⎪
⇒x2
−4x+4=(x−2)2
⇒
x2−4 =(x+2)⋅(x−2)=x+2
x2
−4x+4 lim x2 − 4
x→2
2
x
−4x+4
Departamento
de Matemáticas
⎫ ⎪
⎪ ⎪⎭
⎨x
= 2⎬ ⎩⎪
(x−2)2
x−2 = lim x + 2 = ⎛ 4 ⎞
x→2x−2
⎜0⎟ ⎝ ⎠
Y
se resolvería según el Caso I. Puedes comprobar que los límites laterales no
coinciden siendo lim x+2=⎛ 4 ⎞=+∞ y lim x+2=⎛ 4 ⎞=−∞
x→2
x−2 ⎜+0⎟
x→2 x−2 ⎜−0⎟ +⎝⎠−⎝⎠
x>2
x<2
Caso
2. f(x) contiene sumas y raíces cuadradas.
Método:
se multiplica y divide por el conjugado de la parte de la fracción que
contenga la raíz cuadrada.
Debes
recordar una identidad notable y sus derivadas: (a+b)⋅(a−b)=a2
−b2
2
(
a+b)⋅( a−b)=( a)−b2 =a−b2
2
(a+
b)⋅(a− b)=a2−(b)=a2−b
22
(a+
b)⋅(a− b)=(a)−(b)=a−b
•
lim x−1−1=⎛0⎞=1 x→2 x−2 ⎜0⎟ 2
lim
x−1−1=lim x−1−1⋅( x−1)+1= x→2 x−2 x→2 (x−2) x−1+1
2
⎝⎠
()
x→2
(x−2)⋅( x−1+1) x→2 (x−2)⋅(
x−1+1)
2
lim
x −1 −1 = lim x −1−1 =
lim
x − 2 = lim 1 = 1 x→2 (x−2)⋅( x−1+1) x→2 x−1+1 2
4
Departamento
de Matemáticas
1+
2x −1 x→0 1+ 2x −1 1+ 2x +1 x→0 2 2 ( 1+2x) −1
•
lim x =⎛0⎞=2 ⎜⎟
lim
x→0
x→0
1+2x−1 ⎝0⎠
x
=lim x ⋅ 1+2x+1=limx⋅(1+2x+1)=
lim
x⋅( 1+2x+1)=lim x⋅(
1+2x+1)=lim x→0 1+2x−1 x→0 x x→0
Tipo
III. lim P(x) = ⎛ ∞ ⎞ x→∞Q(x) ⎜∞⎟
Método:
se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador.
Se
pueden distinguir 3 casos según sean los valores relativos de los grados del
numerador y denominador.
Caso
1. grado de P(x) = grado Q(x)
lim
2x3 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟
1+2x+1=2
⎝⎠
5x
−2x +3x+1 ⎝ ⎠ 2x3+5x−4
2x3
+5x− 4
lim
x3
x→∞
5x3 −2x2 +3x+1 x3
2+
5 − 4
=lim
x3 x3 x3 =lim x2 x3 =2
x→∞
5x3 −2x2 +3x+ 1 x→∞5−2+ 3 + 1 5 x3 x3 x3 x3 x x2 x3
Regla
práctica:
Se
calcula el cociente de los coeficientes de mayor grado lim 2x3 + 5x − 4
Caso
2. grado de P(x) < grado Q(x)
lim
2x2 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟
= ⎛ ∞
⎞ =
2 x→∞32 ⎜∞⎟5
5x
−2x +3x+1 ⎝ ⎠
5x
−2x +3x+1 ⎝ ⎠
2x2+5x−4
2x2 +5x− 4
2+
5 − 4
=lim
x x2 x3 =0=0
lim
x3
x→∞
5x3 −2x2 +3x+1 x3
=lim
x3 x3 x3 x→∞ 5x3 −2x2 +3x+ 1
x3
x3 x3 x3
x→∞5−2+
3 + 1 5 x x2 x3
Regla
práctica:
El
límite es SIEMPRE 0.
Caso
3. grado de P(x) > grado Q(x)
5
Departamento
de Matemáticas
lim
2x4 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟
5x
−2x +3x+1 ⎝ ⎠ 2x4+5x−4
2x4
+5x− 4 = lim x3 x3 x3
x→∞
3 2
5x
−2x +3x+ 1
x3
x3 x3 x3
Regla
práctica:
El
límite es SIEMPRE ±∞, el signo depende de los signos relativos de los
coeficientes de mayor grado..
A
modo de resumen
2x+
5 − 4 = lim x2 x3
lim
x3 x→∞ 3 2
=⎛∞⎞=∞
x→∞ 2 3 1 ⎜5⎟ 5−x+x2 +x3 ⎝ ⎠
5x
−2x +3x+1 x3
⎧±∞
si n>m n n−1 ⎪
limax+bx
+...+c=⎪a si n=m x→∞dxm+exm−1+...+f ⎨d
⎪
⎪⎩0
si n<m
Hay
un caso que conviene estudiar a parte: En las expresiones del numerador o
denominador aparecen raíces.
x2
, que corresponde a x.
•
lim 2x−3 =⎛∞⎞ x→∞ 2 ⎜∞⎟
3x
+4x−1 ⎝ ⎠
¿Cuál
es la mayor potencia del denominador? 2x−3
lim
2x−3 = lim
x
x
x→∞
3x2 +4x−1 x→∞ 3x2 +4x−1
Observa
atentamente el denominador:
3x2
+4x−1= 3x2 +4x−1= 3x2 +4x−1= 3x2 +4x− 1 = 3+4− 1 x x2 x2 x2x2x2 xx2
Observa
el numerador 2x − 3 = 2x − 3 = 2 − 3
xxxx
Recolocando
numerador y denominador
2−3
lim
2x−3 =lim x =2
x→∞
3x2+4x−1 x→∞ 3+4− 1 3 x x2
Regla
práctica: en los polinomios o expresiones algebraicas que tienden a infinito
el término que cuenta, el que marca el límite, es el de mayor grado:
6
Departamento
de Matemáticas
2x−3∼2x
⎫
⎪⇒lim
2x−3 =lim 2x =lim 2x = 2
22⎬22x33
3x +4x−1∼ 3x ⎪ x→∞ 3x +4x−1 x→∞ 3x x→∞
⎭
TipoIV. limf(x)=(∞−∞)
x→∞
Caso
1. Las expresiones contienen raíces cuadradas.
Método:
multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de la expresión que
contenga las raíces.
lim
x2+3−x=(∞−∞) x→∞
(
x 2 + 3 − x )⋅ ( x 2 + 3 + x )
lim
=lim
2
(
x 2 + 3 ) − x 2
x
2 + 3 − x 2
=lim
=lim
x→∞
x2 +3+x x→∞ Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción
algebraica.
3
x2
+3+x
⎛ 3
⎞
=⎜ ⎟=0
x→∞
x2 +3+x x→∞
Caso
2. Diferencia de fracciones algebraicas.
⎝∞⎠
x2
+3+x
lim
2 − 2x =(∞−∞) x→1x2−1 x−1
el
mcm⎡(x2
−1),(x−1)⎤=x2 −1 ⎣⎦
2
2x
lim
− =lim
2−2x⋅(x+1)
x 2 − 1
=lim
x →1
2−2x2
−2x x 2 − 1
⎛−2⎞ =⎜ ⎟
x
→1 x 2 − 1 x − 1 x →1
Queda
reducida a una indeterminación del tipo ⎛ k ⎞ . Se calculan los límites laterales.
lim
2−2x2 −2x =⎛−2⎞=−∞ y lim 2−2x2 −2x =⎛−2⎞=+∞
x→1+ 2 ⎜+0⎟ x→1− 2 ⎜−0⎟
⎜∞⎟ ⎝⎠
⎝ 0
⎠
x>1x−1⎝⎠
x<1x−1⎝⎠ Como son distintos concluimos: NO TIENE LÍMITE.
http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/material_por_cursos/reglas%20practicas%20para%20el%20calculo%20de%20limites%20de%20funciones.pdf
