ACTIVIDAD 3

Actividad 3:  Investigar las reglas de los límites de una función.

Cuadro resumen de las INDETERMINACIONES.

Tipo I.

Método: Ejemplo:

Tipo II. lim f (x) = ⎛ 0 ⎞ x→a ⎜0⎟

lim f (x) = ⎛ k ⎞ x→a ⎜0⎟

calcular los límites laterales. lim 2x = ⎛ 6 ⎞

x→3x−3 ⎜0⎟ ⎝⎠

⎝⎠

Caso 1. f(x) es un cociente de polinomios.

Método: simplificar mediante la descomposición en factores primos.

Ejemplo: lim x2 −1 = ⎛ 0 ⎞ = 1 2⎜⎟

x→1x+2x−3 ⎝0⎠ 2

Observación: en la descomposición del numerador y el denominador YA SE CONOCE UNA RAÍZ.

Caso 2. Método:

f(x) contiene sumas y raíces cuadradas.

multiplicar y dividir por el conjugado de la parte de la fracción que contenga la raíz cuadrada.

lim x−1−1=⎛0⎞= 1 x→2 x−2 ⎜0⎟ 2

Ejemplo:

Tipo III. lim P(x) = ⎛ ∞ ⎞

⎝⎠

x→∞Q(x) ⎜∞⎟ ⎝⎠

Método: Ejemplo:

Tipo IV. lim f (x) = (∞ − ∞) x→∞

Caso 1. Las expresiones contienen raíces cuadradas.

Método: multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de la expresión que contenga las raíces.

Ejemplo: lim x2+3−x=(∞−∞) x→∞

Caso 2. Diferencia de fracciones algebraicas.

Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica.

Ejemplo:lim 2 −2x=(∞−∞) x→1x2−1 x−1

se divide numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. lim 2x3 +5x−4 =⎛∞⎞

x→∞32 ⎜∞⎟ 5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠

1

Departamento de Matemáticas

Tipo. Límites de los polinomios lim P(x) y lim P(x) x→∞ x→−∞

Método: considera que a efectos del límite sólo interviene el término de mayor grado. Estudiemos los límites de los monomios y sus inversos.

• limaxn =a⋅∞n =a⋅∞=⎧+∞ si a>0 x→∞ ⎨−∞ si a<0

⎩ • lim1=⎛1⎞=0

x→∞ n ⎜±∞⎟ ax ⎝ ⎠

Esto permite generalizar el límite en el infinito de cualquier polinomio. Lo razonaré para el caso de grado 3

lim (ax3 + bx2 + cx + d)= lim ax3 ⋅⎜ + x→∞ x→∞ ⎜ax3

• lim 1 =⎛1⎞=0 x→∞P(x) ⎜±∞⎟

+ ⎟ = ax3 ⎟

⎛ax3 bx2 cx d⎞

+ ⎝⎠

•

limax3⋅⎜1+ + 2+ 3⎟=lim(ax3)

ax3

ax3

⎛bcd⎞

x→∞ ⎝axaxax⎠x→∞

⎝⎠

Conclusión: en los límites en el infinito de los polinomios el término que marca el límite es el de MAYOR GRADO.

lim(3x2 −5x+3)= lim(3x2)=+∞ x→∞ x→∞

Nota: Si estudiáramos lim P(x) tendríamos situaciones parecidas, habría que tener cuidado con x→−∞

• lim1=⎛1⎞=0 x→−∞ n ⎜±∞⎟

los signos

• lim axn =a⋅(−∞)n =a⋅∞=⎪−∞ si a>0 y nesimpar

⎧⎪+∞ si a>0 y nespar x→−∞ ⎨−∞ si a<0 y nespar

⎪+∞ si a<0 y nesimpar ⎩

ax ⎝ ⎠

Como ejercicio sencillo observa y comprende la siguiente tabla:

x→∞

x3 +2x2 −5x+7→+∞

x→∞

−2x3 +x2 +5→−∞

x→∞

−3x3 +200x2 +x+1→−∞

x → −∞

2x3 −x2 +88x+7→−∞

x → −∞

−2x4 +x3 −4x+1→−∞

x → −∞

−x3 +x2 −9x+3→+∞

2

Tipo I. Indeterminación lim f (x) = ⎛ k ⎞ x→a ⎜0⎟

Método: se estudian los límites laterales.

Caso 1.

Departamento de Matemáticas

⎝⎠

lim 2x =⎛6⎞ NOTIENE x→3x−3 ⎜0⎟

⎝⎠

lim 2x =⎛ 6 ⎞=+∞ x→3+ x−3 ⎜ +⎟

x>3 ⎝0 ⎠

lim 2x = 6 =−∞ x→3− x−3 −

x<3 0

Como los límites son distintos se dice que la función NO TIENE LÍMITE

Caso 2.

lim x+4 =⎛3⎞=∞ x→−1 2 ⎜0⎟

(x+1) ⎝ ⎠

lim x+4= 3 =+∞

lim x+4= 3 =+∞

(x +1)2 (+0)2

Como los límites coinciden se dice que el límite es ∞

− (x +1)2

(−0)2

x>−1 TipoII. limf(x)=⎛0⎞

x<−1

+ x→−1

x→−1

x→a ⎜0⎟ ⎝⎠

Caso 1. f(x) es un cociente de polinomios.

Método: se descompone en factores primos el numerador y el denominador, se simplifica y se

“toman límites”

• lim x2−1 =⎛0⎞=1

2⎜⎟ x→1x+2x−3 ⎝0⎠ 2

x2 −1=(x+1)⋅(x−1), en este caso se “ve” que se trata de una diferencia de cuadrados. En otro caso se emplea el procedimiento general.

x2 +2x−3⇒x2 +2x−3=0⇒soluciones⎧x=1 ⇒ ⎨x = −3

x2 +2x−3=(x−1)⋅(x+3)

x2 −1 (x+1)⋅(x−1) x+1 2 1 + 2x − 3 = lim ( ) ( ) = lim = =

lim x x→1 2

•

Descompongamos en factores el numerador y el denominador. 3

⎩

x→1 x−1⋅x+3 x→1x+3 4 2 lim x2 −4 =⎛0⎞

2⎜⎟ x→2x−4x+4 ⎝0⎠



x2 −4=(x+2)⋅(x−2)

x2 −4x+4⇒x2 −4x+4=0, resolviendo⇒⎧x=2⎪

⇒x2 −4x+4=(x−2)2

⇒ x2−4 =(x+2)⋅(x−2)=x+2

x2 −4x+4 lim x2 − 4

x→2 2

x −4x+4

Departamento de Matemáticas

⎫ ⎪

⎪ ⎪⎭

⎨x = 2⎬ ⎩⎪

(x−2)2 x−2 = lim x + 2 = ⎛ 4 ⎞

x→2x−2 ⎜0⎟ ⎝ ⎠

Y se resolvería según el Caso I. Puedes comprobar que los límites laterales no coinciden siendo lim x+2=⎛ 4 ⎞=+∞ y lim x+2=⎛ 4 ⎞=−∞

x→2 x−2 ⎜+0⎟ x→2 x−2 ⎜−0⎟ +⎝⎠−⎝⎠

x>2 x<2

Caso 2. f(x) contiene sumas y raíces cuadradas.

Método: se multiplica y divide por el conjugado de la parte de la fracción que contenga la raíz cuadrada.

Debes recordar una identidad notable y sus derivadas: (a+b)⋅(a−b)=a2 −b2

2

( a+b)⋅( a−b)=( a)−b2 =a−b2

2

(a+ b)⋅(a− b)=a2−(b)=a2−b

22

(a+ b)⋅(a− b)=(a)−(b)=a−b

• lim x−1−1=⎛0⎞=1 x→2 x−2 ⎜0⎟ 2

lim x−1−1=lim x−1−1⋅( x−1)+1= x→2 x−2 x→2 (x−2) x−1+1

2

⎝⎠

()

x→2 (x−2)⋅( x−1+1) x→2 (x−2)⋅( x−1+1)

2

lim x −1 −1 = lim x −1−1 =

lim x − 2 = lim 1 = 1 x→2 (x−2)⋅( x−1+1) x→2 x−1+1 2

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Departamento de Matemáticas

1+ 2x −1 x→0 1+ 2x −1 1+ 2x +1 x→0 2 2 ( 1+2x) −1

• lim x =⎛0⎞=2 ⎜⎟

lim x→0

x→0 1+2x−1 ⎝0⎠

x =lim x ⋅ 1+2x+1=limx⋅(1+2x+1)=

lim x⋅( 1+2x+1)=lim x⋅( 1+2x+1)=lim x→0 1+2x−1 x→0 x x→0

Tipo III. lim P(x) = ⎛ ∞ ⎞ x→∞Q(x) ⎜∞⎟

Método: se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador.

Se pueden distinguir 3 casos según sean los valores relativos de los grados del numerador y denominador.

Caso 1. grado de P(x) = grado Q(x)

lim 2x3 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟

1+2x+1=2

⎝⎠

5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠ 2x3+5x−4

2x3 +5x− 4

lim x3

x→∞ 5x3 −2x2 +3x+1 x3

2+ 5 − 4

=lim x3 x3 x3 =lim x2 x3 =2

x→∞ 5x3 −2x2 +3x+ 1 x→∞5−2+ 3 + 1 5 x3 x3 x3 x3 x x2 x3

Regla práctica:

Se calcula el cociente de los coeficientes de mayor grado lim 2x3 + 5x − 4

Caso 2. grado de P(x) < grado Q(x)

lim 2x2 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟

= ⎛ ∞ ⎞ = 2 x→∞32 ⎜∞⎟5

5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠

5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠

2x2+5x−4 2x2 +5x− 4

2+ 5 − 4

=lim x x2 x3 =0=0

lim x3

x→∞ 5x3 −2x2 +3x+1 x3

=lim x3 x3 x3 x→∞ 5x3 −2x2 +3x+ 1

x3 x3 x3 x3

x→∞5−2+ 3 + 1 5 x x2 x3

Regla práctica:

El límite es SIEMPRE 0.

Caso 3. grado de P(x) > grado Q(x)

5

Departamento de Matemáticas

lim 2x4 +5x−4 =⎛∞⎞ x→∞32 ⎜∞⎟

5x −2x +3x+1 ⎝ ⎠ 2x4+5x−4

2x4 +5x− 4 = lim x3 x3 x3

x→∞ 3 2

5x −2x +3x+ 1

x3 x3 x3 x3

Regla práctica:

El límite es SIEMPRE ±∞, el signo depende de los signos relativos de los coeficientes de mayor grado..

A modo de resumen

2x+ 5 − 4 = lim x2 x3

lim x3 x→∞ 3 2

=⎛∞⎞=∞ x→∞ 2 3 1 ⎜5⎟ 5−x+x2 +x3 ⎝ ⎠

5x −2x +3x+1 x3

⎧±∞ si n>m n n−1 ⎪

limax+bx +...+c=⎪a si n=m x→∞dxm+exm−1+...+f ⎨d

⎪

⎪⎩0 si n<m

Hay un caso que conviene estudiar a parte: En las expresiones del numerador o denominador aparecen raíces.

x2 , que corresponde a x.

• lim 2x−3 =⎛∞⎞ x→∞ 2 ⎜∞⎟

3x +4x−1 ⎝ ⎠

¿Cuál es la mayor potencia del denominador? 2x−3

lim 2x−3 = lim

x

x

x→∞ 3x2 +4x−1 x→∞ 3x2 +4x−1

Observa atentamente el denominador:

3x2 +4x−1= 3x2 +4x−1= 3x2 +4x−1= 3x2 +4x− 1 = 3+4− 1 x x2 x2 x2x2x2 xx2

Observa el numerador 2x − 3 = 2x − 3 = 2 − 3

xxxx

Recolocando numerador y denominador

2−3

lim 2x−3 =lim x =2

x→∞ 3x2+4x−1 x→∞ 3+4− 1 3 x x2

Regla práctica: en los polinomios o expresiones algebraicas que tienden a infinito el término que cuenta, el que marca el límite, es el de mayor grado:

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2x−3∼2x ⎫

⎪⇒lim 2x−3 =lim 2x =lim 2x = 2

22⎬22x33 3x +4x−1∼ 3x ⎪ x→∞ 3x +4x−1 x→∞ 3x x→∞

⎭ TipoIV. limf(x)=(∞−∞)

x→∞

Caso 1. Las expresiones contienen raíces cuadradas.

Método: multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de la expresión que contenga las raíces.

lim x2+3−x=(∞−∞) x→∞

( x 2 + 3 − x )⋅ ( x 2 + 3 + x )

lim =lim

2

( x 2 + 3 ) − x 2

x 2 + 3 − x 2

=lim =lim

x→∞ x2 +3+x x→∞ Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica.

3

x2 +3+x

⎛ 3 ⎞

=⎜ ⎟=0

x→∞ x2 +3+x x→∞

Caso 2. Diferencia de fracciones algebraicas.

⎝∞⎠

x2 +3+x

lim 2 − 2x =(∞−∞) x→1x2−1 x−1

el mcm⎡(x2 −1),(x−1)⎤=x2 −1 ⎣⎦

2 2x

lim − =lim

2−2x⋅(x+1) x 2 − 1

=lim x →1

2−2x2 −2x x 2 − 1

⎛−2⎞ =⎜ ⎟

x →1 x 2 − 1 x − 1 x →1

Queda reducida a una indeterminación del tipo ⎛ k ⎞ . Se calculan los límites laterales.

lim 2−2x2 −2x =⎛−2⎞=−∞ y lim 2−2x2 −2x =⎛−2⎞=+∞ x→1+ 2 ⎜+0⎟ x→1− 2 ⎜−0⎟

⎜∞⎟ ⎝⎠

⎝ 0 ⎠

x>1x−1⎝⎠ x<1x−1⎝⎠ Como son distintos concluimos: NO TIENE LÍMITE.

http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/material_por_cursos/reglas%20practicas%20para%20el%20calculo%20de%20limites%20de%20funciones.pdf