MATEAVANZADA6CTV: DERIVADAS Y ACT. DE FACTORIZACION

MAR/2015.

Actividad: Anti derivadas o Integrales Indefinidas

A) Regla unitaria:

B) Regla de la potencia:

Regla exponencial e

Ej.1:

Si consideramos que u= g(x) es una función de x; podemos escribir la regla de la potencia así:

C) Regla de la potencia a):

Ej.2:

D) Regla constante:

Ej.3:

E) Regla de la suma resta:

Ej.4:

- Encontrar las integrales o antiderivadas de f(x) de las siguientes funciones, usando las reglas de de las integrales: pag. 54

•

* NOTA: Considera x como x^1/2

•

- Encontrar las integrales o antiderivadas de f(x) de las siguientes funciones, usando las reglas de las integrales: pag. 55

•

TAREA: FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones :

1. 2x(x² – 3x + 2) = 2x³ – 6x² + 4x

2. (x + 7)(x + 5) = x²+ 12x + 35

IZQ = DER

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia en las Matemáticas, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización :

1. FACTOR COMUN MONOMIO:

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N 1: ¿ Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6*2x + 6*3y – 6*4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a² - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

5a² - 15ab - 10 ac = 5a*a - 5a*3b - 5a * 2c = 5a (a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x²y - 30xy² + 12x²y²

El factor común es ˝6xy ˝ porque

6x²y - 30xy² + 12x²y²

6xy(x) - 6xy(5y) + 6xy(2xy ) = 6xy (x - 5y + 2xy )

EJERCICIOS 1. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :

• 6x - 12 =	• 4x - 8y =
• 24a - 12ab =	• 10x - 15x² =
• 14m²n + 7mn =	• 4m² -20 am =
• 8a³ - 6a² =	• ax + bx + cx =

2. FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO N 1.

Factoriza x(a + b) + y( a + b )=

Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =

= ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N 2.

Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =

= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS 2

• a(x + 1) + b ( x + 1 ) =	• m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
• x²( p + q ) + y²( p + q ) =	• ( a² + 1 ) - b (a² + 1 ) =
• ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =	• a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

3. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

El trinomio de la forma x² + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :

EJEMPLO N 1. Descomponer x² + 6x + 5

1 Hallar dos factores que den el primer término x * x

2 Hallar los divisores del tercer término, seleccionando aquellos cuya suma sea “6”

1 * 5 = 5 ó -1 * -5 =5

pero la suma debe ser +6 luego serán x² + 6x + 5 = (x + 1 )( x + 5 )

EJEMPLO Nº 2:

Factorizar x² + 4xy - 12y²

1º Hallar dos factores del primer término, o sea x² : x * x

2º Hallar los divisores de 12y² , éstos pueden ser : 6y * -2y ó -6y * 2y

ó 4y * -3y ó -4y * 3y

ó 12y * -y ó -12y * y

pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y , -2y

es decir

x² + 4xy - 12y² = ( x + 6y )( x - 2y )

EJERCICIOS 3

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

• x² + 4x + 3 =	• a² + 7a + 10 =
• b² + 8b + 15 =	• x² - x - 2 =
• r² - 12r + 27 =	• s² - 14s + 33 =

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax²+ bx + c

EJEMPLO

Factorizar: 2x² - 11x + 5

1º El primer término se descompone en dos factores 2x * x

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 * 1 ó -5 * -1

3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 )

pero no sirve pues da : 2x² + 7x + 5

se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )

y en este caso nos da : 2x² - 11x + 5

EJERCICIOS 4 :

• 5x² + 11x + 2 =	• 3a² + 10ab + 7b² =
• 4x² + 7x + 3 =	• 4h² + 5h + 1 =

5. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:

EJEMPLO:

Factorizar 9x² - 16y² =

Para el primer término 9x² se factoriza en 3x * 3x

y el segundo término 16y² se factoriza en 4y * 4y

luego la factorización de 9x² - 16y² = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

EJERCICIOS 5:

• 9a² - 25b² =	• 16x² - 100 =
• 4x² - 1 =	• 9p² - 40q² =

6. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Ejemplo:

Factorizar 9x² - 30x + 25 =

1 Halla la raíz principal del primer término 9x² : 3x * 3x

2 Halla la raíz principal del tercer término 25

con el signo del segundo término -5 * -5

luego la factorización de 9x² - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )²

EJERCICIOS 6:

• b² - 12b + 36 =

• 25x² + 70xy + 49y² =

MAR/2015

Actividad: Derivadas

La derivada se puede representar como:

- ACTIVIDAD A

REGLAS DERIVACIÓN

(Función constante k ) : Si f(x) = k entonces f’(x)=0

(Función identidad x ) : Si f(x) = x entonces f’(x)=1

(Función potencia ) : Si f(x) = xⁿ entonces f’(x)=nx^n-1 n es un número entero positivo o negativo pero diferente de 1.

(Múltiplo constante k .f(x) ): Si k es constante y tenemos f(x) entonces (k f)’(x)= k f’(x)

(Regla de la suma ) : Si f(x) y g(x) entonces (f+g) = f ’(x)+g’ (x)

(Regla de la resta ) : Si f(x) y g(x) entonces (f-g) = f ’(x)-g’ (x)

Encontrar la derivada D _x f(x) de las siguientes funciones, usando las reglas de derivación:

•

(

es una constante y

)

•

- ACTIVIDAD B

REGLAS DERIVACIÓN

(Función producto ) : La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.

(Función cociente ) : ) La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador por la derivada del denominador, dividido entre el cuadrado del denominador.

(Función seno ) : Si f(x)= sen(x)

(Función coseno ) : Si f(x)= cos(x)

- Encontrar la derivada D _x f(x) de las siguientes funciones, usando las reglas de derivación:

•

- ACTIVIDAD C

(Regla de la cadena ): Si y= f(u) y u= g(x) entonces se forma una función compuesta y= f(g(x)) si g(x) es diferenciable y f(u) es diferenciable en u.

Ejemplo : Si

así que:

- Encontrar la derivada D _x f(x) de las siguientes funciones, usando las reglas de derivación:

•

TIP: Recuerda que la raíz cuadrada se puede escribir como exponente en fracción; (3-x)^1/2

•

ACTIVIDADES: LÍMITES

ACTIVIDAD A

-Observa el ejemplo para determinar límites por aproximaciones.

Podemos observar que cuando x = 1 se produce una división entre cero y el valor es indeterminado, por lo tanto aparece un círculo vacío para ese valor en la gráfica, por lo que es necesario determinar los valores para la función en valores de x muy cercanos a 1.

x	0.9	0.99	0.999	1	1.001	1.01	1.1
f(x)	=0.9	=1.99	1.999	???	2.001	2.01	2.1

Si por ambos lados de x, por la izquierda y la derecha, f(x) tiende a un mismo valor, en este caso 2, decimos que el límite de la función SI EXISTE, el límite de la función f(x) tiende a 2 cuando x→1 :

-Encontrar los límites sustituyendo los valores en las tablas. Usa tu calculadora

(Actividad 3, pág. 20 Guía Matemáticas)

•

x	0.9	0.99	1	1.01	1.1
f(x)

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x	-2.9	-2.99	-3	-3.01	-3.1
f(x)

•

x	-0.1	-0.01	0	0.01	0.1
f(x)

•

x	3.9	3.99	4	4.01	4.1
f(x)

ACTIVIDAD B

- Para las graficas determina los siguientes límites cuando x→1

•

•

- Resolver los siguientes límites, por sustitución. Observa el ejemplo y verifica si no da cero en el cociente.

•

ACTIVIDAD C

- Resolver los siguientes límites, por factorización. Observa el ejemplo y verifica si no da cero en el cociente, si es cero efectúa la factorización y cancela términos.

EJEMPLO :